摘要
我们考虑的Timoshenko梁模型，可以接触两个刚性障碍物，并受到点向阻尼。我们用混合方法分析了解在时间上的存在性和渐近性。
1 介绍
在本文中，我们研究了自然长度的Timoshenko均匀梁与两个刚性障碍物单向接触时的力学演化。让。我们用在时刻和时刻的横截面的横向位移(垂直挠度)来表示。假设平面截面保持平面，则截面的转角定义为。
假设一个点向阻尼作用在梁上，我们用以下方程来描述系统的演化(详见例[12,17,20])，其中物理设置如图1所示:
梁在自由端受到约束
(1.1)在。这里的系数表示:质量密度，质量惯性矩，剪切弹性模量，截面刚度系数，其中E为杨氏模量，G为刚度模量，为横向剪切因子，I为惯性矩。函数和分别表示剪力和弯矩。此外，是点上的狄拉克质量。最后，和表示正阻尼系数。下标x和t表示对x和t的偏导数，初始条件由
(1.2)对于一些给定的函数。另外，我们假设，
(1.3)采用Signorini非侵透条件(如[13])对接头进行建模。特别地，具有间隙g的关节是不对称的，因此，其中和分别为系统静止时的上下间隙。然后，假设左梁的右端仅在两站之间垂直移动，即
(1.4)这个条件保证了位移在止动点和止动点之间受到约束。这个物理设置的数学边界条件如下
(1.5)在继续之前，让我们回顾一下文献中的一些相关结果。这个列表并不打算详尽无遗，而只是包含到目前为止在这个领域所做的路径的提示。
关于热弹性接触的一维准静态问题，我们回顾文献[4]。此外，在[13]中，作者认为材料本构律要么是弹性的，要么是Kelvin-Voigt型的粘弹性的。在[8,9]中已经分析了这个问题的数值方面。特别是Copeti和Elliot证明了解的存在性、唯一性和正则性，并利用有限元法得到了误差估计。
文献[16]分析了局部粘弹性材料与刚性障碍物接触问题弱解的指数能量衰减率。在[5]中考虑了一个横向接触问题，并证明了能量的指数衰减。最后，在[7]中讨论了耗散摩擦型机制下热弹性Timoshenko梁模型接触问题的存在性和指数衰减。
在以上所有的文章中，我们都在弱意义上分析了Signorini接触问题，并且为了证明它的存在性，我们使用了Div-Rot引理。
在本文中，我们采用了一种新的和不同的方法。我们考虑线性Timoshenko模型耦合到一个由常微分方程(混合系统)定义的动态边界条件，这种耦合是通过参数定义的，见下文系统(2.1)。利用半群理论证明了问题的适定性，以及相应模型的指数稳定性。通过一个李普希策摄动，得到了与正常柔性条件接触的问题。最后，我们得到了西格里尼问题。由于Timoshenko模型具有可观测性不等式，这一过程成为可能。我们认为这种方法比通常的惩罚方法更有效(参见[5,13,16]及其参考文献)，因为我们获得了关于解的渐近行为的更精确的信息。特别地，我们证明了模型的边界条件在渐近行为中不起任何作用。这意味着衰减结果可以在任何边界条件下得到证明，这与[5,7,16]中得到的结果不同，在[5,7,16]中使用特定的边界条件来显示指数衰减。
本文的其余部分组织如下:第2节利用半群技术给出了线性混合模型解的存在性。换句话说，我们将不直接分析具有点向耗散(1.1)的Signorini问题，而是研究一个与相关惩罚系统相关的传输问题，通过制定一个模型，在该模型中，奇异点被移除并替换为两个传输条件，参见下面的系统(2.1)-(2.5)。第3节致力于线性混合模型的渐近行为，我们应用的主要工具是定理3.1，定理3.2和黎曼不变量。最后，在第4节中，我们利用Lipschtizian摄动方法证明了Signorini问题(1.1)-(1.5)的存在性和指数衰减性。
2 混合线性模型
为了应用半群理论研究Signorini问题，我们考虑线性混合模型，逼近与式(1.1)-式(1.5)相关的惩罚问题。关于从Signorini问题到惩罚问题的细节，参见例[7]。为了使用混合方法，我们用I表示开集
因此，在这种情况下，很容易看出系统(1.1)-(1.5)等价于
(2.1)满足边界条件
(2.2)注意，由式(2.1)确定。这个动态边界条件可以解释为一个梁刚性地附着在末端的质量体，模拟一个密封容器与颗粒材料，例如沙子。这种颗粒状材料通过内摩擦抑制系统的运动(详见[2,3,15])。
此外，我们考虑在上的传输条件，由
(2.3) (2.4)初始条件
(2.5)这种物理上允许的耦合(2.3)-(2.4)表示位移的连续性和力的不连续。我们可以观察到，如果，，则在处不存在能量耗散，连杆在处是保守的。相反，如果，，则连杆是耗散的，如所考虑的情况。
我们的问题的相空间是
在哪里
正常情况下
2.1 缩约半群
由矩阵B的转置表示并引入状态向量
其中，传输条件由
(2.6)括号表示跳转，即
因此，system(2.1) -(2.5)可以写成如下形式的线性ODE
(2.7)线性算子的定义域是由
和
(2.8)简单的计算表明该算子是耗散的。的确，对于每一个，
(2.9)考虑解方程
(2.10)在相空间上取U的内积，我们得到
(2.11)使用标准程序我们可以证明这一点。根据Lumer-Phillips定理[14，定理1.2.4]，算子是一个收缩半群的无穷小产生子。参见[18，定理1.4.3]。
所以，我们有
定理2.1
对于任何问题，都存在一种独特的温和解决方案
(2.12)问题(2.1)。此外，如果初始数据存在一个强解满足
3.世博会nential稳定
在本节中，我们假设模型的波速不同，即
(3.1)上述条件对Timoshenko模型来说是很自然的。我们要指出的是，条件(3.1)在应用程序中是不会发生的(参见[11]及其参考文献)。在这个假设下得到的指数衰减只从数学的角度来看是有趣的。
这里我们展示了传输问题(2.1)-(2.5)的指数稳定性。我们用X上所有有界线性算子的巴拿赫代数表示一个带范数的复巴拿赫空间。
对于一个算子，我们用它的谱表示，而为的解析集。
我们将在本文中应用的主要工具是以下结果。
定理3.1
设为巴拿赫空间上的缩缩-半群。那么S(t)是指数稳定的当且仅当
(3.2)其中为半群S(t)的本质生长界。
证明
这里我们使用[10，推论2.11，第258页]来证明半群的类型是可验证的
(3.3)的谱的上界是。而且，对于任意，集合是有限的。
让我们假设(3.2)成立。由于半群的本质类型是负的，恒等式(3.3)规定了半群的类型将是负的。
如果那样我们就没什么好证明的了。让我们假设。由(3.2)和Hille-Yosida定理，我们得到。另一方面是有限的，用于验证和。因此我们有
因此，有充分条件。
反过来，我们假设半群S(t)是指数稳定的，特别是它趋于零。然后，由[6，定理1.1]我们得到。而且，由于类型进行了验证(3.3)，所以我们有了它
那么，我们的结论如下。
注意，上述特征对任何巴拿赫空间都有效。
我们在这里使用的另一个重要工具是频域方法，在希尔伯特空间上有效(参见，例如，[19]):
定理3.2
设为希尔伯特空间上的缩缩-半群。那么S(t)是指数稳定的当且仅当
- (i)
，其中为的解析集，和
- (2)
为了证明与模型(2.1)-(2.5)相关的半群S(t)的指数稳定性，我们的出发点是证明S(t)的强稳定性。
引理3.1
在(2.8)中定义的算子满足n和协素数。
证明
由于解析族的紧凑性，足以证明不存在虚特征值。事实上，让我们假设。用我们得到的分量来表示
(3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)有边界条件
(3.10)所以我们有
由式(2.11)和式(3.8)，我们得到它和式(3.10)的结果。再次使用(2.11)，我们得到
上述系统的特征向量必须是这样的形式
由式(3.4)和式(3.6)可得。然后，我们有
根据这个引理的假设，我们得到。所以我们的结论是。
为了证明指数稳定性，我们应用定理3.1。因此，与系统(2.1)-(2.5)相关联的半群的本质类型是负的，还有待证明。首先，让我们介绍由系统定义的半群
(3.11)满足以下边界条件
(3.12)传输条件(2.3)-(2.4)和初始条件
(3.13)注意，除了混合耦合之外，上述问题与系统(2.1)-(2.5)几乎相同。让我们来介绍
相空间和by
扩展相空间。我们用映上的投影表示:
注意，与的组合我们表示为验证
这一点很容易看出。我们用下面的方法来分解这个无穷小生成器
(3.14)在哪里。因此，回顾，在哪里，我们得到
在上述条件下，我们有以下引理
引理3.2
区别在于一个紧算子。因此，相应的基本类型是相等的。
证明
的解可以写成
这意味着
因此
注意，上面方程的右边是一个紧算子。实际上，是一个有限维半群
验证。因此
紧凑。
我们下一步要证明的本质类型是负的，这在(3.14)中有定义。为了做到这一点，让我们引入由系统定义的半群
(3.15)分别具有边界条件(3.12)和验证初始和传输条件(2.5)和(2.3)-(2.4)。
我们用算子表示
很容易证明它是一个紧算子。事实上，它是一个有界序列，特别是有界于。因此存在一个强收敛于的子序列。所以，对于任何有界序列存在子序列，我们仍然用同样的方式表示，强收敛于。然后，算子
表示的-半群的无穷小生成子。
在上述条件下，我们有以下引理。
引理3.3
区别在于一个紧算子。因此，相应的基本类型是相等的。
证明
方程可以写成
解可以写成
(3.16)回顾和的定义，式(3.16)表示
既然是紧算子，那么复合也是紧算子。因此，是一个紧算子。
因此，为了证明的指数衰减，我们只需要证明的本质类型是负的。
目录
摘要 1 介绍 2 混合线性模型 3.世博会 nential稳定 4 的One-Dimensio 与( ink" data-track-action="equation anchor" href="http://webtrans.yodao.com/server/webtrans/tranUrl?url=http%3A%2F%2Fk1.fpubli.cc%2Ffile%2Fupload%2F202309%2F02%2F1tas1auazf0.&from=en&to=zh-CHS&type=1&product=mdictweb&salt=1693672592742&sign=a40562f523d637074b1a120201d750f4">3.15） 5 西格里尼问题 参考文献 作者信息 道德声明 搜索 导航 #####4 的One-Dimensio与(3.15)关联的nal系统
用黎曼不变量
我们有这个
因此，演化问题可以写成
(3.17) (3.18) (3.19) (3.20)在哪里
验证以下边界条件
(3.21)以及传播条件
(3.22) (3.23)对。
表示
系统(3.17)-(3.20)可以写成
(3.24)不难看出，式(3.15)等价于式(3.24)。
我们用(3.24)/定义的半群表示。注意这一点。
我们用对角系统定义的半群来表示
(3.25)验证相同的边界条件(3.21)和相同的传输条件(3.22)-(3.23)。
在这一点上，我们使用Neves等人[1]的结果，在我们的情况下意味着以下结果
定理3.3
在上述符号下，如果条件(3.1)成立，差值是一个紧算符。
证明
注意，条件(3.1)意味着for。利用[1，定理A]，我们的结论如下。
System(3.25)是完全解耦的，可以写成
(3.26) (3.27)在一起
(3.28) (3.29)对。半群由算子生成
(3.30)零矩阵在哪里
与
和
溶剂体系由
(3.31)在哪里
因此，上面的系统可以重写为
(3.32)在分量方面，它变成了
(3.33) (3.34)验证边界条件(3.26)-(3.27)和传输条件(3.28)-(3.29)。
引理3.4
式(3.30)中给出的算子无穷小发生器在相空间上是耗散的。
证明
由于式(3.30)，证明它是对的耗散算符就足够了。这里我们只证明了，证明是相似的。为了简单起见，索引1没有写成p和q。请注意
利用边界条件，我们得到
应用和的连续性，我们得到
使用式(3.29)可以得到
(3.35)我们的结论是。
引理3.5
(3.30)给出的无穷小生成器验证
已知n和co-素数。
证明
由于system(3.25)是完全解耦的，因此足以说明。由于解析族的紧性，我们证明了不存在虚特征值。首先，我们考虑这个案例，然后再考虑这个案例。为简单起见，索引1不写成p和q。让我们假设，因为存在这样的。因为它是耗散的，我们得到
这意味着
根据我们发现的分量
因为，我们得到
因为，我们有
此时我们得到
因此
这暗示了这个，然后我们发现了这个。替代收益
但这在假设中是不可能的，所以。因此，这是一个矛盾。
现在，我们来证明。如果存在这样的情况，通过类似的推理，由于边界条件，我们可以得出
因此我们有
我们还得到
替代收益
但这在假设中是不可能的，所以。因此，这是一个矛盾。
让我们来介绍一下这个功能:
我们用
引理3.6
我们假设有n个协素数，那么我们就得到了这个
证明
我们显示，另一个是相似的。注意这一点。其实，我们得到了
相反，假设。因为我们可以假设有m和n的上导。因此函数是周期性的，周期等于
因此
所以，存在这样一个元素序列
由于是有界的，存在一个收敛子序列(我们仍然用同样的方式表示)，使得那个和那个
然后是这个
(3.36)或
(3.37)我们设(3.36)成立，另一个是相似的，取
但这是自相矛盾的。
定理3.4
在证明引理3.6假设的前提下，该半群是指数稳定的。
证明
由于(3.30)，它足以表明它是指数稳定的。首先我们只证明。为方便起见，我们用和表示。我们使用3.2定理来证明指数稳定性。根据引理3.1，可以证明解算符在虚轴上是一致有界的。所以(3.32)的解是
(3.38) (3.39)同样的，我们有这个
(3.40) (3.41)上述解验证了式(3.31)，也验证了处的边界条件。使用(3.38)和式(3.39)我们得到
(3.42) (3.43)现在我们调整和使传输条件(3.29)保持不变。
解上述方程组得到
应用(3.42)我们得到
因此，在这种选择下，传输条件(3.28)-(3.29)成立。最后，我们调整p(0)，使边界条件在。
用式(3.40)-式(3.41)我们得到了这个暗示
所以p(0)的取值必须满足
解决方案的存在将取决于
上述表达式完全消失当且仅当
或
同时进行。但是上面的同一性意味着
因此
但这是不可能的，因为我们的假设。因此我们有
我们发现
利用引理3.6，我们得到
从这里开始
利用定理3.2，我们得到了指数稳定性。
最后，我们证明了它是指数稳定的。与证明的唯一区别是边界条件。这意味着对应的分解体系的解为
(3.44) (3.45)由于点向耗散与情况相同，我们得出验证边界条件的p(0)的值由
因此我们有
根据引理3.6的相同论证，我们得出它是指数稳定的。
现在我们可以展示本文的主要结果了。
定理3.5
系统(2.1)-(2.4)的半群是指数稳定的，证明了引理3.6的假设
证明
根据引理3.2，区别在于一个紧算符。根据引理3.3我们得到它是一个紧算子，因此。注意，和是同一系统的不同表示，所以我们从定理3.3中得到，算子是一个紧算子。最后，由定理3.4我们得到
由引理3.1提供，有n和余素数。应用定理3.1，我们的结论如下:
话3.1
由上述定理，我们得出存在一个独立于下述条件的正常数C
这意味着存在一个正常数，使得
(3.46)5 西格里尼问题
本文证明了一个抽象半线性问题的完备性，并在适当的条件下证明了该问题的解也是多项式衰减到零的。所以我们引入一个局部Lipschitz函数定义在Hilbert空间上。我们假设对于任何球，存在一个全局的Lipschitz函数，使得
(4.1)另外，存在一个正常数，使得
(4.2)在这些条件下，我们呈现
定理4.1
设相空间上一个具有无穷小发生器的收缩半群，指数稳定半群。在满足条件(4.1)和(4.2)下局部设Lipschitz。那么就存在一个全球性的解决方案
(4.3)它指数衰减到零。
证明
通过假设，存在正常数和，使得全局Lipschitz和Lipschitz常数验证条件为(4.1)和(4.2)。让我们考虑下面的空间。
使用标准不动点参数，我们可以证明只有一个全局解
(4.4)把上面的方程乘以
由于半群是收缩的，所以它的无穷小产生子是耗散的，因此
使用(4.2)我们得到
注意，我们有这个
我们特别发现
这意味着这也是系统(4.3)的解，由于唯一性，我们得出。为了表明系统(4.3)的指数稳定性，表明系统(4.4)的指数衰减就足够了。为此，我们使用定点参数。让我们考虑一下
注意，对于small，()是不变的。其实，对于任何我们所拥有的
因此。使用标准论证，我们证明它满足
因此我们有一个唯一的不动点满足
也就是说U是(4.4)的解，因为它是不变的，所以解呈指数衰减。
让我们考虑半线性系统
(4.5)验证传输条件(2.3)-(2.4)。上面的系统可以写成
由(2.8)给出，由(2.8)给出
(4.6)注意，是验证假设(4.1)-(4.2)的Lipschitz函数。事实上，……此外
定理4.2
由系统(4.5)定义的非线性半群是指数稳定的。
证明
它是定理4.1的直接结果。
接下来我们展示能量不平等
引理4.1
系统(4.5)的解满足
(4.7)在哪里
和
证明
将Eq.(4.5)乘以Eq.(4.5)乘以Eq.(4.5)，并将乘积结果求和得出结论。
让我们来介绍函数
其中q如(4.11)中所示，因此存在正常数，这样
(4.8)在上述条件下，我们有
引理4.2
系统(4.5)的解满足
证明
我们用式(4.5)乘以，得到
(4.9)同理，将式(4.5)乘以
(4.10)因此，将等式(4.9)和式(4.10)相加，对[0,t]积分，我们得到
执行分部积分并回顾定义，我们得到
自
我们的结论是
采取
(4.11)注意n大时，它比q大，因此存在正常数，诸如此类
我们的结果如下。
定理4.3
对于任何初始数据，存在Signorini问题(1.1)-(1.4)的弱解，该解如定理4.2中建立的那样衰减。
证明
由定理4.1可知系统(4.5)只存在一个解。利用引理4.1和4.2，我们得到
(4.12)这意味着一阶能量对于任何。标准程序意味着系统(4.5)的解在分布意义上收敛于系统(1.1)。这里只需要证明条件(1.4)成立。为了做到这一点，我们使用定理4.2中的可观察性不等式，我们得到了它，并且有界。由式(4.5)可得
对于任何地方，不难看出这一点
事实上，from(4.5)对于任何(由依赖于In的常数)都是有界的，from(4.12)也是一致有界的。因此它是一个连续函数，一致有界。通过分部积分，我们发现
因此,
自
对所有人来说。类似地，我们得到
因此，从最后两个不等式我们得到
对于任何这样的。取极限
由这个关系我们得到(1.5)。对存在的证明现在已经完成了。为了证明渐近行为，回顾第3.46节，我们得到
利用范数的半连续性进行积分，得到了sigorini问题解的指数稳定性。
话4.1
Signorini问题(1.1)-(1.4)解的唯一性仍然是一个悬而未决的问题。
同样的方法可以用来证明半线性问题的存在性
(4.13)定理4.4
在定理4.3的相同假设下，sigorini问题(4.13)至少有一个解满足(1.2)-(1.5)。
证明
与定理4.3一样，我们考虑函数
式中f与式(4.6)相同。注意这一点。利用中值定理得到了不等式
接受标准，从和属于然后我们得到
因此，它是局部Lipschtiz。自
然后
因此，存在一个正常数，使得
注意，对于这个函数，存在截止函数
这一点不难验证
是全球的利普希兹。利用定理4.1，我们的结论如下:
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00245-023-10038-w.pdf
