摘要

我们提出了一种显示所谓从属商品的偏好，即当所有商品的消费按比例增加时，支付意愿增加的商品，因此根据拉姆齐定价，价格成本边际为负。我们还证明了它的贝特朗均衡价格高于库尔诺图价格。

1 介绍

众所周知，在多产品公司的情况下，拉姆齐定价(其中垄断定价是一个例子)可能涉及(一些)负的价格成本边际，这需要商品之间的一些互补性:参见梯若尔(1988:第1.1.2节)和贝勒弗拉姆和佩茨(2015:第2.2.2节)。长期以来，关于最优定价的文献就这种可能性提供了一种解释，这种解释是基于相当复杂的所谓需求的“超弹性”:例如，Brown和Sibley(1986:第3章)。

然而，Armstrong和Vickers(2018)最近表明，拥有负拉姆齐边际的商品的条件归结为消费者剩余(局部)相对于该商品的数量减少。此外，Bertoletti(2018)认为，这相当于该商品(在当地)具有负的(反向的)“外部可替代性”，后者由其反向需求的规模弹性(负)来衡量，这意味着当所有商品的消费按比例增加时，购买该商品的意愿就会增加。在两种商品(除了外部商品)的情况下，Bertoletti(2018)也表明，从属商品具有相对较差的可替代性，预算份额相对较小，并且是奢侈品(就对内部商品的偏好而言)。

直观的想法是，类似商品的消费服从于其他商品的消费:例如，如果没有合适的登山服，登山装备就没有用处(或很少)，而且可能随着他们的共同消费，前者的支付意愿会增加。因此，Bertoletti(2018)发表了将类似商品分类为“从属”的文章。然而，我们不知道任何提供这种商品的偏好的例子。这篇文章的目的是提供这样一个例子，利用一个简单的线性需求系统与两种商品。此外，我们还证明了其他商品的垄断价格大于相应的伯特兰价格，这是由于价格的战略可替代性。与我们的设定的这一特征相关的事实是从属商品的贝特朗价格比库尔诺特价格大。最后，事实证明，拉姆齐量与有效量成正比:事实上，偏好属于Armstrong和Vickers(2018)研究的类别。

2 简单的模型

考虑由直接效用函数表示的准线性偏好:

(1)

式中，和为所装金属的数量(含价格)。假设后一种商品的消费为正(并且更普遍地将注意力限制在内部解的情况下，意思是)，对式(1)的直接微分得到逆需求系统:

(2) (3)

注意，表示购买商品1的最大支付意愿，表示购买商品2的最大支付意愿。因此，商品2的消费量总是小于商品1的消费量(否则，前一种商品的边际效用为负)。

可以写成，其中和with是线性齐次的，并且是凹的，表明Eq.(1)代表了属于Armstrong和Vickers(2018)研究的类别的偏好，其相关的消费者剩余作为数量的函数是齐次的。事实上，消费者剩余由:

因此它是2次齐次的。

现在注意(无论何时)。同样，Bertoletti(2018)提出的外部可替代性度量，即“规模弹性”，对于商品2实际上是负的:。因此，消费者剩余s实际上相对于商品2的消费减少，而当所有商品的消费成比例增加时，为商品2支付的意愿增加。

最后，系统等式。(2)和(3)可以方便地倒转，提供系统的直接需求

(4) (5)

请注意，商品是补语(即，for, i, 2，)和(实际上，它们在某种程度上接近完成补语的情况)。Roy的同一性很容易证明，这些需求来自以下间接效用函数，对偶于eq. (1):

（6）

其中E是消费者支出:注4，它是递减的，并且(严格地说，无论何时严格地递减)凸，因此是一个合法的消费者剩余度量。

2.1 拉姆齐定价

假设商品1和商品2以恒定的单位成本生产。对应的利润函数为，，2，是凹的，总利润也是凹的。在下文中，我们假设a足够大，使得所考虑的所有市场分配都是可行的(充分条件是a)。

拉姆齐价格(参见Bertoletti 2018)最大化为(垄断定价的情况下为，同时提供边际成本定价)。注意它是凹的。FOCs可以写成:

通过操纵它们，我们得到了如下的拉姆齐价格:

这表明商品2确实是“从属的”(见Bertoletti 2018年的讨论)。注意，and, with, and，其中表示双产品垄断者对商品i采取的价格，并且不依赖于支付意愿参数a。

也很容易计算出:

请注意，拉姆齐量与有效量成正比，即不依赖于:参见Armstrong和Vickers(2018)进行讨论。

2.2 双头垄断竞争

考虑一种双头垄断的情况，每种商品只由一家独立的公司生产。

2.2.1 贝特朗

当企业通过同时设定自己的价格来竞争时，最佳对策如下:

请注意，价格是战略替代品。在独特的伯特兰-纳什均衡中:

2.2.2 古诺

当企业通过同时设定自己的数量来竞争时，最佳对策如下:

注意数量是战略上的补充。在独特的古诺-纳什均衡中:

2.2.3 讨论

注意这一点。鉴于商品之间的互补性，这种结果源于价格的战略可替代性，这或许令人惊讶。此外，和。后一种结果与普遍认为价格竞争导致价格降低的观点相反(参见Belleflamme和Peitz 2015: p. 66, Lesson 3.11)，这也是由于价格战略可替代性。基于常见的贝特朗-古诺价格排序的直觉来自于这样一个事实，即需求弹性在贝特朗设置中往往更大(独立于商品之间的可替代性类型)。然而，由于可变需求弹性和不对称需求系统，贝特朗和古诺均衡价格之间的标准排名也取决于价格战略互补性(即价格博弈的超模块化)，这一条件在我们的设定中并不适用:参见Vives(1999:第6.3段)。由于数量是战略上的互补，两个贝特朗数量都大于库尔诺蒂安数量(见Vives 1999: Remark 3，第156页)，这就解释了为什么商品1的贝特朗价格一定低于其库尔诺蒂安价格。我们还可以证实，在伯特兰均衡中利润更高。

我们将其留给未来的研究，以调查从属商品与其bertrand - cournot价格排名之间的一般关系(如果有的话)。然而，值得一提的是，在Vives(1999:第6章)考虑的参数限制下，线性需求系统意味着Bertrand价格低于Cournotian价格，但在相同的条件下，它也与Ramsey (la Ramsey)的负价格成本边际不一致。脚注6

相反，我们的例子表明，在商品互补性下，具有对称的负定雅可比矩阵的线性需求系统(即，它可以由一个完全成熟的消费者剩余度量来推导)脚注7，可以很好地展示出一个从属商品，即使只有两种商品，其贝特朗价格也高于其库尔诺特对应商品。

我们已经给出了一个简单的偏好例子，展示了一种从属商品，即一种商品，当所有商品的消费按比例增加时，为它支付的意愿就会增加，因此根据拉姆齐定价，它的价格低于其边际成本。这种从属商品是对另一种商品的补充，在双产品垄断者的情况下，这种商品的价格会高于相应的伯特兰均衡(竞争对手只生产一种产品)。此外，它的古诺均衡价格低于它的贝特朗均衡价值，这与普遍的看法相反。最后，拉姆齐量具有与有效量成正比的特性:参见Armstrong和Vickers(2018)。

下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10258-023-00238-1.pdf

拉姆齐定价-从属商品的一个简单例子

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